Ma bibliothèque mathématique, ou comment majorer ses promos

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Un livre merveilleux pour voir et revoir le programme de première et deuxième années condensé et illustré par des très beaux problèmes, avant d'attaquer le cours d'un cycle traditionnel de fin de licence.
L'originalité est de présenter des sujets de recherche actuels et d'aborder des problèmes rares à ce niveau comme le programme de Langlands, les p-adiques, le théorème des nombres premiers, à travers des appendices et problèmes en fin d'ouvrage, et c'est pour l'étude de ces sujets, ainsi que pour toutes les nombreuses notes de l'auteur exposant motivations historiques, conjectures actuelles ou raffinements récents des théorèmes exposés, que tout licencié se doit d'avoir ce livre dans sa bibliothèque.

Colmez a plutôt cherché à montrer à quel point les mathématiques actuelles peuvent être enthousiasmantes qu'à écrire un livre de cours, ce qui conduit peut-être à des manques d'approfondissement par rapport aux attendus classiques des programmes, mais il faut plutôt voir le cours comme un prérequis aux avancées récentes. C'est tout le sel de ce livre : les chapitres sont pensés pour converger vers les problèmes non triviaux de fin d'ouvrage, premiers raisonnements véritablement complexes abordables avec les outils du cycle de licence, et qui ne figurent pas forcément dans les programmes des universités ou les ouvrages classiques même niveau Master (mais il faut bien dire que cette tendance tend à se corriger au moins en France, et que des livres de maths osant montrer ce qu'a produit le XXe siècle sortent chaque année pour me donner envie)

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Je le mets car il est classique mais je le trouve presque mauvais. Il y a bien mieux et pédagogique. Surtout il n'y a pas d'exercices (les matheux ne disent pas "l'Arlésienne" mais "les exercices du Brézis", bien qu'on puisse trouver une partie de ce qui était paraît-il le fameux livre d'exercices en ligne ; mais ce ne sont de toute manière pas des exercices révolutionnaires qu'aucun autre ouvrage ne pourrait remplacer).

Evitez-le, même si tous vos profs le citent en référence...

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Et préférez celui-ci !
Simplement mon livre de maths préféré, et je ne mâche pas mes mots !

Tout est extrêmement clair. Les prérequis sont réduits au minimum et l'auteur consacre même un chapitre de rappel aux espaces normés et L^p.
Les chapitres n'hésitent pas à s'étendre pour cloisonner chaque notion nouvelle et plus ou moins complexe dans le sien propre. Ainsi, Baire a son propre chapitre, ainsi que la transformée de Fourier qui est à part des Hilbert, ou les distributions à part des Sobolev.
L'ordre est également plus logique et simple que ne le veut la tradition depuis Brézis. Hahn-Banach n'est plus la priorité première et on préfère commencer par les Hilbert et Fourier qui permettent d'avoir de forts résultats sans trop de complexité. De la même façon, Sobolev est vu exclusivement en dimension 1, pour ne pas embrouiller les étudiants avec des formules de Green ou théorèmes de trace incompréhensibles et souvent appris par cœur sans maîtrise par manque de véritable cours sur la formule de Stokes dans les universités, ou même de définition d'un "ouvert suffisament régulier".

Enfin, les exercices sont très intéressants, ne nécessitent pas d'idées particulières et ont avant tout vocation d'apprendre à appliquer strictement les théorèmes en étant très vigilant sur la rigueur (beaucoup d'échanges d'intégrales ou de justifications d'inversion de Fourier par exemple).

Pour conclure, ruez-vous dessus dès que vous aurez besoin d'apprendre l'analyse fonctionnelle, et vous ne le regretterez jamais. Regardez aussi le site de l'auteur, je n'ai jamais rien vu d'aussi mignon.

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Un bon livre surtout pour ses exercices. Cependant je trouve catastrophique de le prendre pour première lecture.

Au-delà de sa légendaire introduction sur la fonction exponentielle, le reste se veut plus austère et peut-être trop exhaustif en première approche (par exemple commencer par le théorème de représentation de Riesz avant de maîtriser la théorie de la mesure, c'est austère). La traduction aussi joue son rôle bien que je la trouve très convenable.

Cependant je le redis, en seconde lecture après avoir bien digéré les chapitres évoqués, les exercices assez originaux et parfois difficiles ainsi que le cours qui se veut plus condensé qu'ailleurs sont un moyen d'être extrêmement solide sur les notions d'analyse niveau fin de licence et début de master.

Ne touchez pas à son Analyse fonctionnelle par contre, du moins en français.

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Un ajout pour faire la promotion de Lesfari, nouveau challenger dans le livres de maths game, encore méconnu à cause de l'éternelle transmission des mêmes références historiques et pourtant auteur de qualité.

En complément du Daniel Li ce livre m'a permis d'étudier la théorie de Fourier sur les espaces de fonctions continues (alors que Li donne une théorie de Fourier sur les espaces de fonctions intégrables sans s'intéresser à la régularité, les théorèmes intéressants étant la formule d'inversion et le théorème de Fourier-Plancherel), et d'obtenir tout un tas de résultats subtils sur la convergence uniforme ou non de la série de Fourier d'une fonction périodique, allant jusqu'au théorème de Dirichlet et permettant de voir le phénomène de Gibbs (qui fait apparaitre des oscillations en approchant une fonction qui n'en a pas au voisinage de points de discontinuité, qui sont paradoxalement de plus en plus importantes à mesure que l'approximation est précise).

A part ça on retrouve un cours classique sur les distributions, des exercices élémentaires, etc etc
L'avantage est de pouvoir attaquer sans prérequis et de ne pas non plus aller vers les définitions rigoureuses trop techniques, notamment sur la topologie de l'espace des fonctions test qui peut rebuter.

Mais plus généralement l'auteur propose des choses intéressantes. Son livre de problèmes niveau master peut valoir le coup, étant donné qu'il est rare de trouver de tels problèmes à part du côté des écrits d'agrégation, qui ne traitent pas forcément tous les sujets nécessaires en maths appliquées. Je dis ça après un feuilletage rapide cependant.

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Encore du classique, avoir vu un cours élémentaire sur le sujet comme celui de Daniel Li peut aider, et le livre en question peut servir à approfondir tout en restant très facile d'accès.
Pour ceux qui ont encore du mal avec les théorèmes de trace et préfèrent passer plus de temps sur un cours plus facile plutôt que de faire un effort plus intense sur une durée plus courte, il remplacera très bien le Zuily.

J'ai aussi mis le livre pour saluer la collection dont il fait partie, qui explore beaucoup de thèmes de façon élémentaire et plaisante (le livre sur les intégrales est très bon, celui de Peyré L'Algèbre discrète de la transformée de Fourier encore plus, riche en jolis résultats qu'on ne croise nulle part ailleurs).

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Il est censé compléter le cours du même auteur, mais je trouve qu'il se suffit à lui-même.

Parmi tous les problèmes il y en a un bon paquet qui peuvent être bien costauds, que ce soit sur la technique ou les idées, mais pour approfondir ++ sans pour autant sortir du programme niveau master en allant fouiller dans les références type Evans, c'est sans doute le meilleur.

Pour ma part je l'ai trouvé trop austère pour m'y investir pleinement, mais ceux qui veulent une théorie rigoureuse des distributions qui n'élude pas le problème de la topologie seront sans doute ravis.

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Le premier livre que j'aie étudié par moi-même, une fois débarrassé de ma prépa !

Je le trouve parfait, mon livre préféré pour s'approprier le thème le plus important de la fin de la licence, j'entends l'intégrale de Lebesgue.

La théorie de la mesure prend son temps pour se développer et les exercices permettent d'être imbattable dessus. Toujours pareil, il s'agit plutôt de transmettre la maîtrise des outils que de sécher à moins d'avoir des idées de la mort qui tue (bien que ça arrive ici).
De même pour Fubini, le changement de variable, la convergence dominée ou Beppo Levi (qui est un seul homme rappelons-le).

On s'ouvre enfin aux espaces L^p, à la convolution et Fourier. Un style très limpide et des indications des passages sautables en première lecture comme le théorème de Carathéodory.
Enfin beaucoup d'exercices intéressants pour comprendre la puissance de Lebesgue.

Ne surtout pas hésiter.

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L'offre de cours d'analyse complexe est légion et il est dommage qu'on dirige encore systématiquement les étudiants vers Rudin, pour les raisons que j'ai déjà indiquées.

J'adore ce livre qui me semble bien plus pédagogue.
Un choix audacieux du cours est de commencer par se focaliser sur l'analyse des polynômes, étant donné que les séries entières n'ajoutent pas grand chose en terme de difficulté. En particulier je suis très fan de l'utilisation de la formule d'interpolation de Lagrange à un polynôme, chose qui ne me serait jamais venue à l'idée, pour en déduire l'inégalité de Bernstein.

Pour la partie analyse complexe proprement dit, tout est très clair, y compris les preuves que je trouve délicates d'habitude comme le principe du maximum ou toute la partie menant à la formule de Cauchy à partir de Goursat triangle jusqu'au reste, en n'hésitant pas à indiquer que la preuve du théorème de Jordan peut être sautée en première lecture. On ajoute beaucoup de théorèmes que je n'ai jamais vus ailleurs (sur le nombre de zéros ou les indices, comme le théorème de Rouché) et même des interprétations (ce dernier qui s'interprète en terme de promenade avec son chien attaché à une laisse avec qui on tournerait autour d'un arbre).

Enfin, le théorème des résidus et les techniques de calculs de sommes et d'intégrales ont droit à un chapitre à part ! C'est vraiment la cerise sur le gâteau et on a ainsi un formulaire de méthodes extrêmement utile en pratique.

Je n'ai pas été plus loin mais les chapitres suivants semblent mener loin (y a le mot Grothendieck, moi je suis qu'un homme je cherche pas à savoir).

Bref, peut-être le meilleur livre pour apprendre l'analyse complexe.

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Je sais qu'il est de bon ton de le vénérer mais je ne l'aime pas tant que ça.
Il est intéressant puisqu'il insiste plus sur l'heuristique que sur la rigueur mais c'est justement la raison qui fait qu'il ne me sert pas beaucoup. Car de fait les exercices me paraissent plutôt insurmontables. Il m'a fallu lire un autre cours avant de l'apprivoiser, et une fois fait, ce livre était quelque peu obsolète.
L'auteur semble néanmoins être un excellent pédagogue et ses étudiants doivent l'adorer.

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Je l'apprécie sans plus.
Il a plutôt bien vieilli mais manque surtout d'exercices. Il a sa place dans toute bibliothèque mais je pense qu'il y a mieux.

Il est tout de même satisfaisant de posséder un livre d'un des plus grands esprits du siècle dernier (bien qu'il ne vaille pas le père).

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Et voilà un cours que je trouve clair et élémentaire.

Le calcul différentiel de fin de MP/début de L3 est pour moi une des étapes les plus difficiles et décisives du cursus mathématique d'un étudiant qui se destine aux mathématiques appliquées.

Le problème des autres références comme je l'ai dit, est qu'elles sont soit trop peu formelles, soit trop austères et sans exercices. Voilà donc un vrai cours, simple d'accès qui donne pourtant toutes les clés afin de progresser, que ce soit en calcul différentiel ou en équations différentielles, qui elles aussi manquent de représentants satisfaisants à mon goût.

Les exercices sont encore une fois élémentaires mais intéressants et consistent surtout à assimiler les concepts avec rigueur pour devenir performant.

Cela n'empêche pas de s'ouvrir à des théories plus pointues, comme le calcul des variations avec les équations d'Euler, la théorie de Lyapounov ou la formule de Stokes en dimension 2.

De plus le cours de l'auteur est disponible gratuitement en pdf si je ne m'abuse. N'hésitez donc pas.

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Mon livre préféré d'algèbre linéaire.

Très accessible, avec des exercices pas bien difficiles mais suffisants pour maîtriser tout le programme et être une bête de concours, je regrette de ne pas l'avoir lu plus tôt.

Sa limpidité est exemplaire. J'ai pour exemple particulier le lemme de Steinitz qui était une plaie lorsque mon prof de sup l'avait exposé alors qu'il est extrêmement simple ici.

Un classique.

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Mon livre préféré d'algèbre !

Il demande seulement quelques rudiments qui sont en gros la définition d'un groupe et l'algèbre linéaire de base, autrement dit il s'aborde en fin de deuxième année.

Il est clair, très intéressant mais demande à être très actif. Pour qui se force à faire les démonstrations élémentaires pas toujours détaillées, il n'y a pas mieux pour acquérir une compréhension extrêmement profonde des concepts en jeu !

Le premier chapitre à lui seul dévore le programme universitaire de troisième année classique. On y comprend très bien la notion de groupe quotient, les actions de groupes, les théorèmes de Sylow et un extrêmement beau passage sur l'unicité d'un groupe simple de cardinal 60 en fin de chapitre pour apprendre à appliquer les trois théorèmes.

Les exercices vont du simple à l'extrêmement compliqué, tout en restant très amusants, bien que pouvant occuper des jours. Il y a par exemple l'amusant problème de coloriage (si on a une roulette à N secteurs qu'on peut colorier avec q couleurs, combien y a-t-il de coloriages possibles, si on considère que deux coloriages déduits l'un de l'autre en faisant tourner la roulette sont identiques ?), et des problèmes plus algébriques et durs (que ce soit simplement l'absence de groupes simples d'ordre plus petit que 60 ou les caractérisations du groupe diédral).

On poursuit sur les anneaux, la réduction des endomorphismes (niveau M1) la théorie des corps pour aboutir au fameux théorème sur la non résolubilité des équations de degré plus grand que 4 par radicaux.
Il est question de sujets plus exotiques et géométriques, comme l'étude des groupes polyédraux ou cristallographiques, l'objectif premier étant l'étude des solides de Platon (bien qu'on dépasse très vite ce simple cadre).

Les deux autres tomes que je n'ai pas touchés poursuivent le voyage jusqu'aux confins de l'algèbre pour mener à la preuve...du théorème de Fermat ! Oui !

Rien de mieux pour apprendre l'algèbre en étant exigeant avec soi et plonger dans ce merveilleux monde.


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Je l'aime ? Plutôt. Mais je préfère de loin son voisin du dessus.

Pour être honnête je ne l'ai pas étudié au moment où j'aurais dû, à savoir durant ma prépa. Le style de l'auteur est vivant malgré tout et ses légendaires remarques sur la mobilisation des troupes françaises pour illustrer son cours de logique peuvent faire sourire ou agacer.

Les exercices quant à eux sont tout de même très intéressants et parfois bien retors, pour aller de basiques à de plus difficiles (comme une preuve du Nullstellensatz si j'ai bonne mémoire). Par contre la bibliographie est une mine pour qui en chercherait, et cerise sur le gâteau, des références séparées permettent de pointer les livres d'exercices techniques et ceux d'exercices théoriques.

Sans doute l'un des meilleurs livres mais je ne l'ai pas lu en condition. Godement est malgré tout un grand homme.

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Il manquait un livre d'arithmétique dans tout ça.

Ce n'est absolument pas un cours élémentaire !
Il faut des prérequis en algèbre de base (un niveau licence je dirais) mais le célèbre monsieur nous emmène loin. Colmez explore certains des thèmes abordés mais ici ils sont bien plus approfondis.

Il sera donc question de corps finis, de carrés modulo un entier et de loi de réciprocité quadratique (un des théorèmes qui a le plus inspiré les mathématiciens, puisqu'on en a deux centaines de preuves), de nombres p-adiques, et enfin de formes quadratiques équivalentes sur Q^2 par le principe local/global, si mes souvenirs sont bons.

On ne voit clairement pas ça dans toutes les universités, mais ce sont des problèmes profonds et passionnants, qui permettent de mettre un orteil dans la géométrie algébrique.

Seul défaut : pas d'exercices.

Je ne pense cependant pas qu'il soit destiné à un autre public qu'à des mathématiciens confirmés, contrairement à Laurent Lafforgue qui prétend que sa lecture est nécessaire aux parents qui voudraient suivre son programme d'enseignement des maths pour leurs enfants (que je recommande pour mettre du plomb dans la cervelle de nos descendants et leur ouvrir des portes vers le bonheur matériel et/ou spirituel). Des livres d'arithmétique élémentaire existent et proposent des problèmes rigolos et plus ou moins difficiles pour former les plus novices en mathématiques qui ne manipulent que les nombres et pas des corps ou des p-adiques.

Anecdote tant que j'y suis : revenant vers la gare après une soirée avec des amis sur Paris, toujours en train de décuver à moitié, un étranger m'aborde dans les couloirs du métro, et après m'avoir demandé l'heure en anglais, me demande quelles études je fais.
Après ma réponse, il me dit qu'il est en physique. Il me demande ce que j'aime en mathématiques, je lui réponds "les groupes", et il dit spontanément "Do you know Serre ?". Pour une raison étrange j'ai dit "Yes ! Jean-Pierre !".
Il a pris mon numéro mais ne m'a jamais rappelé.

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Encore un qu'on loue mais que je n'aime pas.

Je l'ai lu en entier et ai fait tous les exercices mais je le dis : je le trouve bien planplan.
Je n'ai pas l'impression d'avoir été transcendé ni d'être devenu une bête de géométrie, et la préoccupation de l'auteure (oui je mets le e pour lui faire plaisir) de parsemer son récit d'appels à "la lectrice" sous prétexte que la règle du masculin qui l'emporte serait sexiste est plus irritant qu'autre chose.

Je pense qu'il y a mieux, bien que je ne sois pas calé en géométrie.

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Je l'ai acheté et je le regrette. Un peu comme le Audin, je le trouve trop planplan.

Pour l'élémentaire il y a Godement, pour l'approfondissement il y a Arnaudies et Bertin. On recommande parfois ce livre mais ce n'est absolument pas mon cas.

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Un miracle !

Ce livre m'a réconcilié avec la modélisation mathématique et l'analyse numérique. Son seul défaut est de ne pas comporter d'exercices, mais il fut une bonne lecture de chevet pour me préparer à attaquer de vrais cours ensuite.

Premier point qui m'a plu : un chapitre d'introduction qui se permet ENFIN de définir en quelques pages les notions d'ouvert régulier et les intégrales sur les bords de tels ouverts, avec un peu de rigueur mais pas trop.
Encore mieux, les formules de la divergence et de Green sont exposées succintement et clairement, sans avoir besoin d'apprendre bêtement par coeur ou d'une théorie solide. Oui, j'ai enfin compris ces formules grâce à ce livre.

La conséquence est que le chapitre suivant sur la modélisation physique et les manières d'obtenir les EDP en devient limpide. En effet, le gros blocage venait souvent pour ma part du manque d'interprétation des formules de la divergence et de Green, qui sont en fait très claires (en gros la variation d'un domaine est juste égale à la manière dont le bord s'étend, c'est tout ce qu'il faut comprendre).

On poursuit tout aussi limpidement sur les méthodes classiques de résolution d'EDP, comme les caractéristiques, la transformée de Fourier, la séparation de variables par analyse physique, la réduction de dimension...
le tout étant systématiquement appuyé par des interprétations physiques des idées et des résultats (par exemple le phénomène d'évanouissement immédiat de la solution des ondes en dimension 3 qui ne s'observe pas en dimension 2 est physiquement limpide : une onde causée par un ricochet dans l'eau s'évanouit en s'éloignant de son centre, alors que la lumière d'une pièce disparaît instantanément de tout l'espace en fermant l'interrupteur).

Les chapitres sur Sobolev et les différences finies sont également très clairs et la partie sur la méthode de Galerkin, bien qu'elle soit vraiment compliquée à mettre en oeuvre à cause des histoires de maillage, est plutôt compréhensible (mais cette compréhension est hélas bornée car il faut pratiquer).

Bref, c'est court, c'est clair, c'est intéressant, ça met le cerveau en ébullition et enthousiasme, c'est un indispensable si on veut faire des maths appliquées.


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Encore un bon livre pour les matheux appliqués.

Des exercices intéressants, un décorticage vulgarisé des problèmes de calcul numérique à cause des erreurs sur les flottants, une définition complète des notions de complexité, consistance, problèmes bien posés, avant d'attaquer dans le vif.
Un choix plutôt complet de sujets, qui commence par la résolution des systèmes linéaires en grande dimension par les algorithmes de pivot de Gauss, la décomposition LU, puis les algorithmes de gradient, avant de poursuivre par les méthodes de Newton, équations différentielles, éléments finis et différencies finies, interpolation, problèmes aux valeurs propres.
De bons exercices, un bon cours théorique clair, qui expose les méthodes et analyse les erreurs, la terminaison, la correction et la complexité, et offre en plus des programmes en Scilab.

Un classique pour les futurs pisseurs de code.


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Mais voilà le vrai challenger pour le calcul numérique !

Après le Di Menza voilà une seconde lecture plus profonde d'un gros pavé qui n'est en rien comparable.
On insiste encore sur les bases des mathématiques appliquées en en faisant l'apologie (en citant le fameux mot ;
"Qu'est-ce que les mathématiques appliquées
-Un domaine dont les mathématiques pures sont une branche").

On retrouve les qualités des deux précédents en parsemant d'exercices intéressants au fil du texte. On a toujours des programmes mais plus d'étude théorique que dans le livre des trois Italiens, avec l'un des meilleurs chapitres écrits sur Sobolev qui soit.

C'est finalement ce livre qui a totalement achevé de me réconcilier avec la modélisation et le calcul numérique, et je lui en suis extrêmement reconnaissant.

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On attaque les probas !

Un livre très rafraichissant qui réconciliera aussi bien les matheux débutants que les plus aguerris avec cette discipline trop longtemps maudite car "c'est pas des maths".
Devenue une vraie discipline depuis le passage de Kolmogorov, les probabilités sont désormais un pilier du monde contemporain pour les prises de décision ou les algorithmes qui le font tourner tel qu'il est aujourd'hui.

Mais en plus de ça elles sont très amusantes, et Walter Appel entend bien en convaincre ses lecteurs.
La structure du livre est sa principale singularité, en ceci qu'elle consiste à exposer plusieurs fois la théorie du début mais avec de plus en plus de profondeur : on commence par une approche naïve, puis une seconde partie permet d'attaquer les probabilités discrètes avec des outils élémentaires de premier cycle, puis on attaque enfin dans le dur avec la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue pour faire des choses solides.

La deuxième originalité est la richesse des exemples, qu'ils soient proposés dans le texte ou en exercices (lesquels sont toujours pédagogiques et contextualisés pour être amusants, ainsi on s'amusera à calculer le nombre de sauts qu'il faut en moyenne pour qu'une grenouille qui fait des sauts de longueur aléatoire de longueur comprise entre zéro et un mètre doit faire pour parcourir son étang de un mètre, à calculer la probabilité qu'une taupe sorte de son trou). Il est ainsi question du paradoxe de Petersbourg, des deux cassettes, de la loi de Benford, d'une illustration de la notion de variance en étudiant le cas du jeune Raphaël Valentin de La Peau de chagrin pariant tout son argent sur un coup chanceux (et une critique de la qualité du livre plutôt moyenne au passage), la question de savoir s'il vaut mieux parier sur la séquence "pile pile face" ou "face pile pile" quand on laisse une pièce une infinité de fois, ou encore le paradoxe d'Olbers (qui dit qu'en toute logique le ciel devrait toujours être blanc car dans l'hypothèse d'un univers infini notre œil croise presque sûrement une étoile).
On ouvre enfin aux martingales et mouvements browniens, ainsi qu'au Monte Carlo.

Et en plus de tout ça le livre est bourré d'humour. Adoré par tous ceux qui l'ont essayé, il mérite sa place dans toute bibliothèque, aussi bien celles des profanes que celles des experts.

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"Seulement" 8 parce qu'il ne fait pas office de livre de cours.

Il reste un livre très intéressant pour se faire une culture générale en probabilités, s'ouvrir à la finance et apprendre des théorèmes captivants, le tout dans un style bien à lui.

Saviez-vous par exemple qu'un magicien devenu mathématicien a démontré que pour bien mélanger un jeu de cartes, il fallait le battre sept fois, mais que six fois n'était pas suffisant ?
Pour d'autres résultats bluffants du genre, c'est le livre idéal.


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Après le W. Appel, ou en remplacement si on a déjà étudié un cours de théorie de la mesure et qu'on veut attaquer directement un livre rigoureux et technique sur le sujet, celui-ci est idéal.

On est dans du plus classique mais il y a quand même des spécificités qui en font un indispensable.
Le premier chapitre dédié aux rappels d'analyse expose des techniques pas toujours vues partout, comme les transformations d'Abel, ou la manière d'étudier la fameuse suite u_(n+1) = sin(u_n). Surtout, chose qu'on ne note jamais, il rappelle que les développements limités sont bien plus intéressants en exprimant le reste non pas sous la forme o(x^n) mais O(x^(n+1)) (le grand O étant plus précis que le petit o, chose dont on a trop peu conscience avec l'enseignement de premier cycle).

On repart ensuite sur la théorie de l'intégrale de Lebesgue classique, peut-être un peu raide en première lecture mais faisant figure de très bon rappel, avant d'aller vers les variables aléatoires, les moments, l'indépendance, les convergences en probabilité, loi, presque sûre, L^p, les vecteurs gaussiens, et même un chapitre de statistiques élémentaire (dont je ne suis honnêtement pas très fan par contre).

Encore et toujours de bons exercices, allant de l'élémentaire pour se faire les dents sur les nouvelles notions avec rigueur à du plus original (prouver le théorème des quatre carrés avec des arguments de mesure, ou calculer la probabilité de couper la galette des rois pile sur la fève).

Une majoration assurée en partiels de probabilités mais surtout une maîtrise très solide pour attaquer la suite qui devient vite plus délicate, les lacunes semblant être très répandues de ce que j'observe autour de moi.

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La suite du précédent.

Il s'agit donc du classique des probabilités niveau master : espérance conditionnelle, martingales et chaînes de Markov.

Ces notions sont difficiles et nécessitent maturation. La notion de processus stochastique demande déjà un peu de temps pour certains, et ce n'est rien face à celle d'espérance conditionnelle qui pour le coup est un mur pour tout le monde.

Après un chapitre zéro portant sur l'existence d'espaces probabilisés permettant d'envisager une répétition infinie de lois de Bernoulli indépendantes (c'est technique et heureusement dispensable), on attaque le vif du sujet.

On prend son temps avec l'espérance conditionnelle, et heureusement. Les exercices sont plutôt coton pour ma part mais sont la rançon du succès. Il est ardu de prendre du recul sur cette nouvelle variable aléatoire (!) mais un investissement conséquent en temps et en esprit dans son étude porte ses fruits.
En effet, il s'agit là encore d'une des notions qui perdent à jamais les étudiants.

On poursuit sur les martingales, qui sont la pause tranquille après avoir bien mastiqué l'espérance conditionnelle, avant de tomber sur le morceau le plus consistant.

Oui, les chaînes de Markov posent beaucoup de problèmes, et les apprivoiser le plus rapidement possible conditionne le futur succès des études de qui s'y est investi ou non.
Une chose que j'aime particulièrement dans le présent livre est la séparation en deux temps de l'étude des chaînes : d'abord un chapitre sur les propriétés élémentaires et Markov faible, puis un autre chapitre sur Markov fort et les états récurrents/transcients/théorème ergodique.
Cette distinction, que je n'ai jamais vue ailleurs, justifie à elle seule le livre. Bien maturer Markov faible avant de poursuivre permet sans conteste de se sentir plus à l'aise sur Markov fort et faire des choses plus complexes.
On titube beaucoup au début, il faut du temps, heureusement les méthodes classiques sont bien décrites en évidence (notamment l'analyse au premier pas), et on peut ainsi attaquer en exercice des problèmes intéressants qui justifient la théorie pointue mise en place (comme le problème du collectionneur du coupon).

S'ajoute un chapitre sur la théorie ergodique et des problèmes d'examens. Le dyptique d'Olivier Garet est pour moi la meilleure manière d'attaquer les probabilités du supérieur avec de bonnes bases qui manquent très souvent aux étudiants pour qui elles restent une bête noire.


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Un livre d'une personne que j'ai eu la chance d'avoir en cours dans son master.

On ne parle pas de n'importe qui, mais d'une personnalité capitale de la théorie des probabilités ayant beaucoup contribué à l'étude des modèles stochastiques apparaissant en biologie. Elle a même sa page Wikipedia.

Je me répète beaucoup mais encore une fois on a un livre limpide et captivant.
A part les premiers chapitres que j'ai allègrement sautés, étant déjà au point sur les chaînes de Markov, la suite expose clairement les bases du calcul stochastique si utile dans tant de domaines différents de nos jours. L'orientation vers la biologie des exemples ne doit pas tromper, il s'agit bien d'un livre de mathématiques, avec toute la rigueur que ça implique, mais aussi beaucoup d'heuristique pour attaquer des concepts qui commencent à être pointus.

J'apprécie beaucoup la construction du mouvement brownien comme limite de marche aléatoire à pas de plus en plus réduit avec une cadence de plus en plus accélérée, avec les bons coefficients pour être dans le cadre du théorème central limite, ce qui permet de comprendre instantanément que le mouvement brownien est simplement la formalisation mathématique du mouvement aléatoire uniforme et continu le plus simple qu'on puisse concevoir.

Les processus markoviens de sauts trouvent naturellement leur sens dans l'étude des populations avec naissances et prédateurs, ou encore dans la propagation des épidémies pour être plus actuel. Les exercices sont donc d'autant plus intéressants qu'ils contextualisent la grande majorité du temps et permettent d'entrevoir l'utilité du travail du mathématicien.
Par exemple, une loi qui limiterait l'extinction d'espèces maritimes en limitant le nombre moyen de prises par pêche serait-elle utile ? Je laisse chacun réfléchir, bien que l'argument soit facile à trouver avec un peu de jugeotte sans connaitre les maths, mais un exercice propose d'étudier la question en voyant quelles sont les quantités pertinentes à contrôler pour empêcher l'extinction d'une espèce.

Un grand livre d'une grande dame, qui aime beaucoup la parlotte, mais qui ne manque pas de partager son savoir avec amour et de former de bons mathématiciens pour peu qu'ils étudient son cours.


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Bizarrement, même en maîtrisant les probabilités, le saut vers les statistiques a longtemps été délicat pour moi. Probablement parce qu'il faut se laisser aller à une certaine simplicité sur les notions de base (j'ai bien dit de base, les problèmes de recherche que j'ai étudiés l'année dernière sont très complexes).

Malgré le cliché populaire disant que "les stats c'est facile c'est pas des maths", tout matheux sait que l'attaque de la discipline demande un bon équipement en notions d'analyse et probabilités.
Cependant, malgré la possession des prérequis, j'ai eu beaucoup de mal à trouver un cours élémentaire qui me convienne.

J'aime beaucoup ce livre, qui permet de commencer du théorème de Varadarajan pour arriver aux applications classiques comme les tests, fabrication d'estimateurs, intervalles de confiance.
Et encore une fois, il y a des exercices, classiques mais nécessaires pour chopper les notions. Car bizarrement je vois rarement des livres de stats proposant des exercices parmi les grands classiques.

Pour un apprentissage plus rapide et très clair des bases je recommande aussi le polycopié "Statistiques computationnelles" de Tabea Rebafka disponible facilement sur son site. Je ne sais trop pourquoi, je l'ai trouvé particulièrement pertinent dans sa présentation heuristique des bases en une trentaine de pages, avant d'aborder deux thèmes plus élaborés que sont le bootstrap et l'algorithme EM pour l'estimation de variables latentes.

A vous de voir. Si vous avez besoin d'un cours classique de statistiques et surtout des tests comme le Khi-deux, optez pour le livre. Si les bases concernant les estimateurs et intervalles de confiance vous suffisent, prenez le poly, vous ne le regretterez pas, et trouvez quelques exercices.


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Un seul Bourbaki qui contiendra mon avis définitif sur le groupe.

C'est exhaustif. C'est clair puisque très épuré. Ça part des bases. C'est fait par les meilleurs mathématiciens de notre pays.

Son importance historique est indéniable, à la fois par les conditions de réunion du comité qui s'ancrent totalement dans la mouvance du siècle dernier, durant lequel de jeunes esprits prometteurs se retrouvaient dans des cafés avec l'espoir de réformer leur domaine (on a donc un reflet de Sartre ou de l'Oulipo), et par son influence inconnue et pourtant indéniable sur l'enseignement français, qui lui doit aussi bien son apogée inégalée que son déclin actuel (à cause du dégoût des maths des débiles actuellement au pouvoir qui tentent de les dévaloriser quitte à effondrer le pays), au moins en partie.

Mais hormis l'importance du groupe, je vais être bref : c'est chiant.
Oui ça va loin, oui les exercices sont innombrables, mais rien n'est bien intéressant.
Pas le droit à des raisonnements heuristiques, pas le droit à des paragraphes sur les motivations, tout consiste en un fascicule de résultats et preuves (et encore, pas tous les tomes) dont la lecture est d'une tristesse sans fin.

Mais il y a pire.
Les exercices sont une vraie catastrophe. Ils sont difficiles, austères, et surtout ne servent à rien. Si on excepte les basiques de manipulations élémentaires des définitions, il n'y a rien à tirer des heures de réflexion investies dessus. Ils sont trop originaux et déconnectés des applications courantes pour être intéressants ou formateurs.

Un grand mathématicien, je ne sais plus lequel, a raconté qu'en immigrant en France au début de sa carrière, n'ayant pas encore d'amis, il décida de se plonger entièrement dans les Bourbaki et d'en faire tous les exercices. Au terme de son histoire, il a avoué que s'il avait pu, il aurait investi tout ce temps dans autre chose, que ce soit mathématiquement ou socialement.

Et voilà qui résume mon avis sur Bourbaki. Si on peut le garder sous le coude en tant que fascicule de résultats, on ne peut sortir de son étude trop intensive sans un profond sentiment de vide, de solitude et de tristesse.

Annotation :

Une lecture très plaisante pour tout étudiant niveau master qui aime l'analyse !

On attaque par les théorèmes taubériens pour explorer à chaque chapitre des résultats historiques et complexes, à un faible coût en prérequis, pour atteindre des résultats difficiles, comme la couronne de Carleson.
Plus un cadeau qu'un cours, il est à recommander à tout amoureux étudiant en master qui aime ce qu'il fait.

Une fois n'est pas coutume, je l'ai également ajouté pour saluer la maison d'édition.
Calvage et Mounet proposent beaucoup de livres explorant des thèmes classiques de façon totalement originale, par des auteurs experts dans leur domaine, très pédagogues et bienveillants, profitant de leur liberté pour apporter un nouveau regard par rapport aux traditionnels cours tous copiés/collés les uns sur les autres pour calquer les classiques.
J'ose même dire que les livres de Calvage et Mounet sont les meilleurs à paraître en maths. Ils ne ressemblent à rien d'autre (trouvez-moi un équivalent du Lombardi/Quitté) et pour couronner le tout l'impression est de très bonne qualité.

Si vous avez un mathématicien dans votre entourage, offrez-lui un pavé de chez Calvage et Mounet.

(Ajouté au site)

Annotation :

Tout est dans le titre.

Un indispensable à toute bibliothèque.
J'adore l'analyse, puisqu'elle est à la fois le domaine où l'intuition est le mieux récompensée et le plus punie. Ce livre prouve que les définitions ne disent rien de plus que ce qu'elles disent et que si elles sont faites en premier lieu pour coller à nos représentations mentales, celles-ci sont souvent erronées, et c'est bien ce qui rend les mathématiques si importantes pour apprendre l'humilité.

En-dehors d'exemples très célèbres comme la première fractale que fut la fonction de Weierstrass qui scandalisa l'Académie des sciences, beaucoup de choses bien plus simples sont présentes. J'étais moi-même convaincu qu'une fonction ne pouvait pas être continue seulement en un point isolé mais forcément un peu autour, à cause de l'histoire de "sans lever le crayon". Eh bien voici un exemple de fonction continue sur les irrationnels et pas les rationnels dans cet ouvrage.

Bon amusement !