Excellente introduction niveau Master
L'ouvrage se présente comme un manuel, couvrant de façon assez large les notions de base du calcul différentiel sur les variétés éponymes. La progression d'ensemble est logigue, si l'on excepte la branche formée par le chapitre sur les groupes de Lie : rappels de calcul différentiel dans R^n, notion de variété différentielle, dérivations, fibré tangent et champs de vecteurs, formes différentielles et leurs applications, pour s'achever une introduction à la topologie différentielle/algébrique avec cohomologie de de Rham, théorie du degré, caractéristique d'Euler-Poincaré.
Le contenu est assez accessible et progressif. Evidemment, le traitement de certains exemple nécessite un peu plus d'attention. Cela dit, ce n'est pas une introduction qu'on proposerait en début de Licence 3, et je ne suis parvenu à l'achever qu'après avoir reçu un cours sur les sujets dont elle traite. Toutefois, on peut se faire la main, avec patience comme toujours, sur les nombreux exercices proposés, un bon nombre étant corrigés en fin de volume. Il paraît que la nouvelle édition s'appuie sur un site compagnon, ce qui peut encore faciliter la clarification des inévitables obscurités du sujet.
Un peu plus dans le détail, les chapitres sont introduits par de très clairs brefs paragraphes en expliquant et motivant le contenu. La plupart des théorèmes sont démontrés de façon progressive (je n'ai pas souvent repéré de ces "donc" sur lesquelles on passe trois heures, sinon trois semaines, avant d'en comprendre les raisons de l'assassine brièveté), certains des derniers sacrifiant parfois la rigueur à la clarté, ce qui n'est pas malvenu pour un sujet qui s'avère passablement complexe au débutant. La numérotation des théorèmes, exemples, proposition est claire, ce qui facilite les souvent fastidieuses recherches que l'on est amené à faire au vu des inévitables "selon le théorème III.G.15 et le Lemme B.12, blablabla". Bref, cela se parcourt assez bien, de façon linéaire, la plupart des chapitres faisant appels à des résultats vu dans l'ensemble des chapitres antécédents (sinon directement, du moins de fil en aiguille).
Si quelques illustrations facilitent ici et là la compréhension de notions un peu plus complexes au premier abord (fibrations, par exemple), il revient le plus souvent au lecteur de se faire sa propre idée à partir d'exemples classiques (tores et sphères par exemple) ou de ce ressort essentiel du calcul différentiel : le crobard décrivant, immergé dans l'R^2 de la feuille de papier, d'un bout de surface quelconque plongée dans R^3 - plus costaud pour les groupes de Lie, j'avoue...
Un bémol pour finir : l'édition de 1996 sur laquelle s'appuie cette critique est littéralement truffée de coquilles allant de la faute d'orthographe à de plus gênantes erreurs de notation. Rien qui ne soit dirimant, mais je me souviens que cela m'avait pas mal compliqué la première lecture. J'espère que l'édition de 2010 a apporté des corrections à tout cela.
Bref, un excellent ouvrage en domaine français, sur un sujet assez redoutable en apparence du fait surtout de la grande diversité des notions (et des méthodes) qu'il introduit.
